Laatst zat ik eens zo te denken tijdens wiskunde: een andere benadering van het klimaat. Als je nu het klimaat ergens van gaat opzoeken dan kom je telkens terecht bij de gemiddelde temperaturen. Maar in zo’n land als Nederland heb je daar niet zo veel aan, want het kan ’s winters flink vriezen, maar het kan ook, zoals nu, 14 graden zijn, in tegenstelling tot de tropen waar de temperatuur meestal vrijwel gelijk is. Daarom speelt er nog een factor mee, de gemiddelde afwijking van die temperatuur, ofwel de standaarddeviatie. Dit gehele principe heet normale verdeling. Hiermee kan je dan de kans berekenen dat bijvoorbeeld een dag in april warmer is dan 20 graden. Ook zou je hiermee dan kunnen berekenen hoeveel dagen er in een januari dan kouder zijn dan 0 graden. Verder nog dingen als hoeveel dagen er in oktober zijn met een temperatuur tussen 10 en 15 graden. Hetzelfde kan je natuurlijk ook doen voor wind, neerslag, zonneschijn, enzovoort.
Het gemiddelde heeft als teken een Griekse Mu, nu even m.
De standaarddeviatie heeft als teken een Griekse Sigma, nu even s.
De m zit in het midden, s is dan het verval van links naar rechts. Een grotere s betekent dus minder verval en dus zijn er dan meer dagen met een grotere afwijking. De kans staat gelijk aan het oppervlakte van de ruimte waarbinnen je iets wilt weten. Dus stel je wilt weten: warmer dan, dan neem je het oppervlakte rechts van die temperatuur. Kouder dan, links en tussen in, ertussen in. Ik hoop dat jullie het nog volgen.
Als voorbeeld nemen we dan even mijn verjaardag, 20 juli. Ik heb de maxima daarvan in De Bilt opgezocht bij het KNMI. Op volgorde van 1970-1999 (dus 30 jaar) zijn de maxima:
15.6
20.6
31.4
19.3
20.8
22
22.5
19.6
16.9
17.6
16.6
18.9
25.1
19.9
16.8
18.9
21.7
19.4
20.2
24.8
27.7
20
28.9
19.5
27.4
28.6
25.7
23.1
30.5
25.5
Het gemiddelde (m) kan je heel simpel berekenen door alles op te tellen en te delen door 30. De standaarddeviatie (s) berekenen werkt wat ingewikkelder. Uit mijn hoofd geloof ik dat je dan een rij ernaast moet maken met de rij temperaturen – het gemiddelde (m), daar de modulus van neemt (negatief positief maken en positief positief houden), en van het geheel weer het gemiddelde. Maar dat kan fout zijn…
Hoe dan ook, ik ben daar te lui voor dus laat ik alles door mijn Texas Instruments Ti84+ rekenmachine doen. Men voert al deze gegevens in in een lijst (menu STAT -> Edit…), laat daar de functie 1-Var Stats op los (menu STAT -> CALC -> 1-Var Stats, lijstnumer) en vervolgens rollen alle gegevens vanzelf uit de rekenmachine. Dan blijkt het volgende:
M=22.18
S = 4.32
Om daarmee een kans te berekenen kun je de functie normalcdf() gebruiken (2nd menu DISTR -> normalcdf().
Op volgorde moet je dan het volgende invullen:
Normalcdf(linkergrens,rechtergrens,m,s).
Voor warmer dan is de linkergrens de temperatuur en de rechtergrens oneindig, in de rekenmachine 10^99.
Voor kouder dan is de linkergrens -10^99 en de rechtergrens de temperatuur.
Voor tussen a en b is de linkergrens a en de rechtergrens b.
Dus stel ik wil weten wat de kans is dat mijn verjaardag warmer is dan 30 graden:
P = Normalcdf(30,10^99,22.18,4.32) = 0.0351
Oftewel 3,51%
Dan wil ik weten hoeveel verjaardagen ik kan verwachten binnen deze 30 jaar dat de temperatuur hoger ligt dan 30 graden.
Verwachtingswaarde = E(X) = n * p = aantal keer de kans
E(X) = 30*0.0351= ongeveer 1
In werkelijkheid waren dit twee dagen, maar het gaat hier om kansrekenen, dus het zou zomaar kunnen dat er in de toekomst het 0 blijken te zijn, of 4 oid. De verwachting ligt dus rond de 1.
Stel ik houd van een temperatuur tussen de 20 en 25 graden, dat vind ik bijvoorbeeld ultiem. Dan is de kans dat mijn verjaardag hieraan voldoet dus:
P = Normalcdf(20,25,22.18,4.32) = 0.436
Oftewel 43,6%
In een decenium kan ik dan dus ruim 4 lekkere verjaardagen verwachten, want
E(X) = n*p = 10*0.436= ongeveer 4.
Ik vind dit zelf een hele leuke manier voor het benaderen van het klimaat, waarmee ook daadwerkelijk ook iets kan. Dit kan ook nuttig zijn voor vakanties. Je kan dan berekenen hoe groot de kans is dat het bijvoorbeeld een dag voorkomt dat de zon maar 4 uur schijnt, oid.
Toch is dit niet de ultieme oplossing, want bijvoorbeeld in de winter is het gros van de dagen een graad of 7 met uitschieters naar beneden, waardoor je dus niet een compleet juiste verdeling hebt, maar een leukere benadering is het wel.
Het gemiddelde heeft als teken een Griekse Mu, nu even m.
De standaarddeviatie heeft als teken een Griekse Sigma, nu even s.
De m zit in het midden, s is dan het verval van links naar rechts. Een grotere s betekent dus minder verval en dus zijn er dan meer dagen met een grotere afwijking. De kans staat gelijk aan het oppervlakte van de ruimte waarbinnen je iets wilt weten. Dus stel je wilt weten: warmer dan, dan neem je het oppervlakte rechts van die temperatuur. Kouder dan, links en tussen in, ertussen in. Ik hoop dat jullie het nog volgen.
Als voorbeeld nemen we dan even mijn verjaardag, 20 juli. Ik heb de maxima daarvan in De Bilt opgezocht bij het KNMI. Op volgorde van 1970-1999 (dus 30 jaar) zijn de maxima:
15.6
20.6
31.4
19.3
20.8
22
22.5
19.6
16.9
17.6
16.6
18.9
25.1
19.9
16.8
18.9
21.7
19.4
20.2
24.8
27.7
20
28.9
19.5
27.4
28.6
25.7
23.1
30.5
25.5
Het gemiddelde (m) kan je heel simpel berekenen door alles op te tellen en te delen door 30. De standaarddeviatie (s) berekenen werkt wat ingewikkelder. Uit mijn hoofd geloof ik dat je dan een rij ernaast moet maken met de rij temperaturen – het gemiddelde (m), daar de modulus van neemt (negatief positief maken en positief positief houden), en van het geheel weer het gemiddelde. Maar dat kan fout zijn…
Hoe dan ook, ik ben daar te lui voor dus laat ik alles door mijn Texas Instruments Ti84+ rekenmachine doen. Men voert al deze gegevens in in een lijst (menu STAT -> Edit…), laat daar de functie 1-Var Stats op los (menu STAT -> CALC -> 1-Var Stats, lijstnumer) en vervolgens rollen alle gegevens vanzelf uit de rekenmachine. Dan blijkt het volgende:
M=22.18
S = 4.32
Om daarmee een kans te berekenen kun je de functie normalcdf() gebruiken (2nd menu DISTR -> normalcdf().
Op volgorde moet je dan het volgende invullen:
Normalcdf(linkergrens,rechtergrens,m,s).
Voor warmer dan is de linkergrens de temperatuur en de rechtergrens oneindig, in de rekenmachine 10^99.
Voor kouder dan is de linkergrens -10^99 en de rechtergrens de temperatuur.
Voor tussen a en b is de linkergrens a en de rechtergrens b.
Dus stel ik wil weten wat de kans is dat mijn verjaardag warmer is dan 30 graden:
P = Normalcdf(30,10^99,22.18,4.32) = 0.0351
Oftewel 3,51%
Dan wil ik weten hoeveel verjaardagen ik kan verwachten binnen deze 30 jaar dat de temperatuur hoger ligt dan 30 graden.
Verwachtingswaarde = E(X) = n * p = aantal keer de kans
E(X) = 30*0.0351= ongeveer 1
In werkelijkheid waren dit twee dagen, maar het gaat hier om kansrekenen, dus het zou zomaar kunnen dat er in de toekomst het 0 blijken te zijn, of 4 oid. De verwachting ligt dus rond de 1.
Stel ik houd van een temperatuur tussen de 20 en 25 graden, dat vind ik bijvoorbeeld ultiem. Dan is de kans dat mijn verjaardag hieraan voldoet dus:
P = Normalcdf(20,25,22.18,4.32) = 0.436
Oftewel 43,6%
In een decenium kan ik dan dus ruim 4 lekkere verjaardagen verwachten, want
E(X) = n*p = 10*0.436= ongeveer 4.
Ik vind dit zelf een hele leuke manier voor het benaderen van het klimaat, waarmee ook daadwerkelijk ook iets kan. Dit kan ook nuttig zijn voor vakanties. Je kan dan berekenen hoe groot de kans is dat het bijvoorbeeld een dag voorkomt dat de zon maar 4 uur schijnt, oid.
Toch is dit niet de ultieme oplossing, want bijvoorbeeld in de winter is het gros van de dagen een graad of 7 met uitschieters naar beneden, waardoor je dus niet een compleet juiste verdeling hebt, maar een leukere benadering is het wel.
Bericht laatst bijgewerkt: 11-02-2008 20:12