Hoi mensen,
Als ik me het broeikaseffect eenvoudig wil voorstellen gebruik ik altijd een simpel model van de werkelijkheid. Iedereen die een beetje kan rekenen zou dit verhaal moeten kunnen volgen, hoop ik.
Allereerst even de twee belangrijkste algemene punten:
1) Voorwerpen zenden straling uit, soms geheel infrarood en onzichtbaar, soms ook deels zichtbaar. De straling S die per m2 oppervlak van het voorwerp wordt uitgezonden, wordt gegeven door
S = εσT4, waarbij
- ε = de emissiviteit. De waarde van ε is 0 voor vacuüm, 1 voor een perfecte 'zwarte straler', wat de zon en de aarde bij benadering zijn. Belangrijk is de Wet van Kirchhoff, die stelt dat de emissiviteit in een evenwichtssituatie gelijk is aan de absorptiviteit. Dus als een 'grijze straler' met een fractie ε van het zwarte-stralermaximum straling uitzendt, dan zal dezelfde fractie straling van buitenaf geabsorbeerd worden.
- σ = de constante van Stefan-Boltzmann. De waarde van σ is 5.670400 × 10−8 W·m-2·K-4.
- T = de absolute temperatuur in Kelvin. Dit is de temperatuur in °C + 273.15.
Een vast voorwerp met een temperatuur van 20°C zendt per m2 dus ongeveer [1]×[5.670400 × 10−8 W·m-2·K-4]×[(293.15)4 K4] = 419 Watt aan straling uit.
2) Het oppervlak van een cirkelschijf is gelijk aan πr2, waarbij π ('pi') = 3.14159265..., en r de straal van de cirkelschijf, dus de afstand tussen het middelpunt en de rand. Het oppervlak van een bol met gelijke straal is 4πr2, viermaal zo groot als het oppervlak van een cirkelschijf dus!
Instraling zon op aardoppervlak
Wij hebben te maken met een zon met een (bol)oppervlak 4πR2zon op een afstand A tot de aarde, die per m2 zonoppervlak een straling uitzendt van Szon = σTzon4. De zon zendt vanaf z'n gehele oppervlak en in alle richtingen straling uit, in totaal (4πR2zon)Szon Watt. Deze straling wordt weer verdeeld over een imaginair boloppervlak met een straal die gelijk is aan de afstand A tot de zon. De zonnestralingsflux per oppervlakte-eenheid is op een afstand A tot de zon dus gelijk aan Szon(4πR2zon)/(4πA2) = Szon(Rzon/A)2.
Wie vanachter de aarde naar de zon kijkt, ziet dat de aarde eruitziet als een zwarte cirkelschijf. Een cirkeloppervlak van πR2aarde van de zonnestralingsflux wordt dus door de aarde onderschept.
Gemiddeld over de hele aarde en gemiddeld over de tijd moet de zonne-energie die de cirkelschijf invangt worden verdeeld over het aardboloppervlak 4πR2aarde. Per m2 aardoppervlak komt er dus Fzon = [Szon(Rzon/A)2]×[(πR2aarde)/(4πR2aarde)] = ¼ Szon(Rzon/A)2 aan zonnestraling in W/m2 binnen.
Belangrijk hierbij is, dat een deel van deze zonnestralingsflux weer teruggekaatst wordt, vooral door bv. wolken, sneeuw- en ijsoppervlakken. De fractie van het zonlicht die wordt gereflecteerd wordt wel de albedo α genoemd, zodat de fractie die wordt geabsorbeerd gelijk is aan 1-α.
In werkelijkheid absorbeert het aardoppervlak per m2 dus gemiddeld ( 1-α )Fzon aan zonnestraling.
Zonder atmosfeer zou het veel kouder zijn!
Het aardoppervlak zelf zendt per m2 een stralingsflux uit van Faarde = σTaarde4.
Stel dat er geen atmosfeer was. Dan zou er simpelweg een balans zijn tussen de inkomende zonnestraling en de uitgaande warmtestraling van de aarde: ( 1-α )Fzon = Faarde.
Volgens de uitleg hierboven is dat equivalent aan ¼ ( 1-α ) σTzon4 (Rzon/A)2 = σTaarde4, wat na omschrijven gelijk is aan:
Geen atmosfeer: Taarde = Tzon ( 1-α )¼ (Rzon/[2A])½.
Vullen we typische waarden in voor Tzon (5780 K), α (0.3), Rzon (6.960 × 108 m) en A (1.49597870691 × 1011 m), dan komen we uit op Taarde = 255.0 K, ofwel -18.2°C.
De evenwichtstemperatuur is trouwens behoorlijk gevoelig voor de albedo. Een procentpunt meer of minder (0.31 of 0.29) scheelt resp. -0.9°C en +0.9°C.
Formule ook toepasbaar voor andere planeten
Het grappige van zo'n eenvoudige formule vind ik dat je ook voor andere planeten gemakkelijk de evenwichtstemperatuur aan het oppervlak kunt berekenen, uitgaande van een afwezige atmosfeer (N.B.!). Het enige wat je hoeft te weten is de afstand tot de zon en de albedo.
Volgens Wikipedia, sterrenkunde.nl en deze simpele formule zijn de afstand tot de zon, de albedo, en de evenwichtstemperatuur aan het oppervlak resp.:
Mercurius: 57,910,000 km; 0.056; 169°C
Venus: 108,208,930 km; 0.72; -35°C
Aarde: 149,597,870 km; 0.30; -18°C
Mars: 227,936,640 km; 0.16; -57°C
Jupiter: 778,412,010 km; 0.34; -163°C
Saturnus: 1,426,725,400 km; 0.34; -192°C
Uranus: 2,870,972,200 km; 0.30; -215°C
Neptunus: 4,498,252,900 km; 0.31; -227°C
Terug naar de aarde: toevoeging uniforme atmosfeer
Nu weten we dat de gemiddelde temperatuur aan het aardoppervlak niet -18° maar ongeveer +15° is. Dit komt door het broeikaseffect: het effect van een atmosfeer die de uitgaande warmtestraling van de aarde deels weer terugzendt naar de aarde.
Onze atmosfeer is grotendeels transparant voor de inkomende kortgolvige straling van de hete zon, maar zeker niet helemaal. Denk aan de ozonlaag, die ons beschermt tegen de schadelijke UV-straling. Toch ga ik voor het gemak even van dit principe uit, en heeft de absorptiviteit ε van de atmosfeer alleen betrekking op de langgolvige straling vanaf het veel koudere aardoppervlak. Stel nu dat onze atmosfeer met evenwichtstemperatuur Tatm een emissiviteit ε heeft. De atmosfeer zal dan εσTaarde4 van de straling vanaf de aarde absorberen.
Er zijn nu twee stralingsevenwichten: eentje aan de top van de atmosfeer en eentje aan de ondergrens van de atmosfeer (het aardoppervlak).
Eerst het stralingsevenwicht aan de top van de atmosfeer. Netto is er een neerwaartse zonnestralingsflux van ( 1-α )Fzon. Verder absorbeert de atmosfeer εFaarde van de straling vanaf het aardoppervlak, zodat er aan de top nog ( 1-ε )Faarde van deze straling naar de ruimte verdwijnt. Ten slotte zendt de atmosfeer aan de top nog zélf warmtestraling uit, nl. εσTatm4. Dit levert het volgende stralingsevenwicht op aan de top van de atmosfeer:
( 1-α )Fzon = ( 1-ε )Faarde + εσTatm4.
Aan het aardoppervlak geldt een tweede evenwicht. Netto is er wederom een neerwaartse zonnestralingsflux van ( 1-α )Fzon. Daarbovenop komt er vanaf de onderkant van de atmosfeer in stralingsevenwicht εσTatm4 (van de straling die oorspronkelijk door het aardoppervlak werd uitgezonden) terug. Ten slotte zendt het aardoppervlak zelf natuurlijk nog warmtestraling uit, nl. weer die σTaarde4. Dit levert het volgende stralingsevenwicht op aan het aardoppervlak:
( 1-α )Fzon + εσTatm4 = Faarde.
Deze beide evenwichten kunnen als volgt voluit geschreven worden:
¼ ( 1-α ) σTzon4 (Rzon/A)2 = ( 1-ε ) σTaarde4 + εσTatm4. (top atmosfeer)
¼ ( 1-α ) σTzon4 (Rzon/A)2 + εσTatm4 = σTaarde4. (aardoppervlak)
Dit zijn gewoon twee vergelijkingen met twee onbekenden (Taarde en Tatm), waarvan de oplossing luidt:
Wél atmosfeer:
Taarde = ( 1-½ε )-¼ Tzon ( 1-α )¼ (Rzon/[2A])½.
Tatm = ( 2/ε-1 )-¼ Tzon ( 1-α )¼ (Rzon/[2A])½.
Hieronder kun je voor dit simpele modelletje van het broeikaseffect zien hoe de temperatuur van het aardoppervlak en van de atmosfeer verandert ten gevolge van veranderingen in de emissiviteit ε van de atmosfeer. Hierbij wordt een albedo verondersteld van 0.3. Het blijkt dat ε = 0.78 goed overeenkomt met onze atmosfeer, met een bijbehorende Taarde = +15.4°C en Tatm = -45.1°, wat in de buurt ligt van de gemiddelde temperatuur op de tropopauze.
De gevoeligheid voor de albedo (ik besef dat die 'kortgolvige' albedo niet alleen van het aardoppervlak afhangt, maar dat zeg ik dus bij deze) wordt hieronder weergegeven. Hierbij is een emissiviteit ε van 0.78 verondersteld.
Ik vind het grappig dat je met zo'n simpel modelletje toch redelijk aansprekende resultaten kunt boeken, die ook goed overeenkomen met wat je zou verwachten denk ik.
Een heel verhaal, maar hopelijk vonden enkelen van jullie het interessant!
Groet,
Alwin
Als ik me het broeikaseffect eenvoudig wil voorstellen gebruik ik altijd een simpel model van de werkelijkheid. Iedereen die een beetje kan rekenen zou dit verhaal moeten kunnen volgen, hoop ik.
Allereerst even de twee belangrijkste algemene punten:
1) Voorwerpen zenden straling uit, soms geheel infrarood en onzichtbaar, soms ook deels zichtbaar. De straling S die per m2 oppervlak van het voorwerp wordt uitgezonden, wordt gegeven door
S = εσT4, waarbij
- ε = de emissiviteit. De waarde van ε is 0 voor vacuüm, 1 voor een perfecte 'zwarte straler', wat de zon en de aarde bij benadering zijn. Belangrijk is de Wet van Kirchhoff, die stelt dat de emissiviteit in een evenwichtssituatie gelijk is aan de absorptiviteit. Dus als een 'grijze straler' met een fractie ε van het zwarte-stralermaximum straling uitzendt, dan zal dezelfde fractie straling van buitenaf geabsorbeerd worden.
- σ = de constante van Stefan-Boltzmann. De waarde van σ is 5.670400 × 10−8 W·m-2·K-4.
- T = de absolute temperatuur in Kelvin. Dit is de temperatuur in °C + 273.15.
Een vast voorwerp met een temperatuur van 20°C zendt per m2 dus ongeveer [1]×[5.670400 × 10−8 W·m-2·K-4]×[(293.15)4 K4] = 419 Watt aan straling uit.
2) Het oppervlak van een cirkelschijf is gelijk aan πr2, waarbij π ('pi') = 3.14159265..., en r de straal van de cirkelschijf, dus de afstand tussen het middelpunt en de rand. Het oppervlak van een bol met gelijke straal is 4πr2, viermaal zo groot als het oppervlak van een cirkelschijf dus!
Instraling zon op aardoppervlak
Wij hebben te maken met een zon met een (bol)oppervlak 4πR2zon op een afstand A tot de aarde, die per m2 zonoppervlak een straling uitzendt van Szon = σTzon4. De zon zendt vanaf z'n gehele oppervlak en in alle richtingen straling uit, in totaal (4πR2zon)Szon Watt. Deze straling wordt weer verdeeld over een imaginair boloppervlak met een straal die gelijk is aan de afstand A tot de zon. De zonnestralingsflux per oppervlakte-eenheid is op een afstand A tot de zon dus gelijk aan Szon(4πR2zon)/(4πA2) = Szon(Rzon/A)2.
Wie vanachter de aarde naar de zon kijkt, ziet dat de aarde eruitziet als een zwarte cirkelschijf. Een cirkeloppervlak van πR2aarde van de zonnestralingsflux wordt dus door de aarde onderschept.
Gemiddeld over de hele aarde en gemiddeld over de tijd moet de zonne-energie die de cirkelschijf invangt worden verdeeld over het aardboloppervlak 4πR2aarde. Per m2 aardoppervlak komt er dus Fzon = [Szon(Rzon/A)2]×[(πR2aarde)/(4πR2aarde)] = ¼ Szon(Rzon/A)2 aan zonnestraling in W/m2 binnen.
Belangrijk hierbij is, dat een deel van deze zonnestralingsflux weer teruggekaatst wordt, vooral door bv. wolken, sneeuw- en ijsoppervlakken. De fractie van het zonlicht die wordt gereflecteerd wordt wel de albedo α genoemd, zodat de fractie die wordt geabsorbeerd gelijk is aan 1-α.
In werkelijkheid absorbeert het aardoppervlak per m2 dus gemiddeld ( 1-α )Fzon aan zonnestraling.
Zonder atmosfeer zou het veel kouder zijn!
Het aardoppervlak zelf zendt per m2 een stralingsflux uit van Faarde = σTaarde4.
Stel dat er geen atmosfeer was. Dan zou er simpelweg een balans zijn tussen de inkomende zonnestraling en de uitgaande warmtestraling van de aarde: ( 1-α )Fzon = Faarde.
Volgens de uitleg hierboven is dat equivalent aan ¼ ( 1-α ) σTzon4 (Rzon/A)2 = σTaarde4, wat na omschrijven gelijk is aan:
Geen atmosfeer: Taarde = Tzon ( 1-α )¼ (Rzon/[2A])½.
Vullen we typische waarden in voor Tzon (5780 K), α (0.3), Rzon (6.960 × 108 m) en A (1.49597870691 × 1011 m), dan komen we uit op Taarde = 255.0 K, ofwel -18.2°C.
De evenwichtstemperatuur is trouwens behoorlijk gevoelig voor de albedo. Een procentpunt meer of minder (0.31 of 0.29) scheelt resp. -0.9°C en +0.9°C.
Formule ook toepasbaar voor andere planeten
Het grappige van zo'n eenvoudige formule vind ik dat je ook voor andere planeten gemakkelijk de evenwichtstemperatuur aan het oppervlak kunt berekenen, uitgaande van een afwezige atmosfeer (N.B.!). Het enige wat je hoeft te weten is de afstand tot de zon en de albedo.
Volgens Wikipedia, sterrenkunde.nl en deze simpele formule zijn de afstand tot de zon, de albedo, en de evenwichtstemperatuur aan het oppervlak resp.:
Mercurius: 57,910,000 km; 0.056; 169°C
Venus: 108,208,930 km; 0.72; -35°C
Aarde: 149,597,870 km; 0.30; -18°C
Mars: 227,936,640 km; 0.16; -57°C
Jupiter: 778,412,010 km; 0.34; -163°C
Saturnus: 1,426,725,400 km; 0.34; -192°C
Uranus: 2,870,972,200 km; 0.30; -215°C
Neptunus: 4,498,252,900 km; 0.31; -227°C
Terug naar de aarde: toevoeging uniforme atmosfeer
Nu weten we dat de gemiddelde temperatuur aan het aardoppervlak niet -18° maar ongeveer +15° is. Dit komt door het broeikaseffect: het effect van een atmosfeer die de uitgaande warmtestraling van de aarde deels weer terugzendt naar de aarde.
Onze atmosfeer is grotendeels transparant voor de inkomende kortgolvige straling van de hete zon, maar zeker niet helemaal. Denk aan de ozonlaag, die ons beschermt tegen de schadelijke UV-straling. Toch ga ik voor het gemak even van dit principe uit, en heeft de absorptiviteit ε van de atmosfeer alleen betrekking op de langgolvige straling vanaf het veel koudere aardoppervlak. Stel nu dat onze atmosfeer met evenwichtstemperatuur Tatm een emissiviteit ε heeft. De atmosfeer zal dan εσTaarde4 van de straling vanaf de aarde absorberen.
Er zijn nu twee stralingsevenwichten: eentje aan de top van de atmosfeer en eentje aan de ondergrens van de atmosfeer (het aardoppervlak).
Eerst het stralingsevenwicht aan de top van de atmosfeer. Netto is er een neerwaartse zonnestralingsflux van ( 1-α )Fzon. Verder absorbeert de atmosfeer εFaarde van de straling vanaf het aardoppervlak, zodat er aan de top nog ( 1-ε )Faarde van deze straling naar de ruimte verdwijnt. Ten slotte zendt de atmosfeer aan de top nog zélf warmtestraling uit, nl. εσTatm4. Dit levert het volgende stralingsevenwicht op aan de top van de atmosfeer:
( 1-α )Fzon = ( 1-ε )Faarde + εσTatm4.
Aan het aardoppervlak geldt een tweede evenwicht. Netto is er wederom een neerwaartse zonnestralingsflux van ( 1-α )Fzon. Daarbovenop komt er vanaf de onderkant van de atmosfeer in stralingsevenwicht εσTatm4 (van de straling die oorspronkelijk door het aardoppervlak werd uitgezonden) terug. Ten slotte zendt het aardoppervlak zelf natuurlijk nog warmtestraling uit, nl. weer die σTaarde4. Dit levert het volgende stralingsevenwicht op aan het aardoppervlak:
( 1-α )Fzon + εσTatm4 = Faarde.
Deze beide evenwichten kunnen als volgt voluit geschreven worden:
¼ ( 1-α ) σTzon4 (Rzon/A)2 = ( 1-ε ) σTaarde4 + εσTatm4. (top atmosfeer)
¼ ( 1-α ) σTzon4 (Rzon/A)2 + εσTatm4 = σTaarde4. (aardoppervlak)
Dit zijn gewoon twee vergelijkingen met twee onbekenden (Taarde en Tatm), waarvan de oplossing luidt:
Wél atmosfeer:
Taarde = ( 1-½ε )-¼ Tzon ( 1-α )¼ (Rzon/[2A])½.
Tatm = ( 2/ε-1 )-¼ Tzon ( 1-α )¼ (Rzon/[2A])½.
Hieronder kun je voor dit simpele modelletje van het broeikaseffect zien hoe de temperatuur van het aardoppervlak en van de atmosfeer verandert ten gevolge van veranderingen in de emissiviteit ε van de atmosfeer. Hierbij wordt een albedo verondersteld van 0.3. Het blijkt dat ε = 0.78 goed overeenkomt met onze atmosfeer, met een bijbehorende Taarde = +15.4°C en Tatm = -45.1°, wat in de buurt ligt van de gemiddelde temperatuur op de tropopauze.
De gevoeligheid voor de albedo (ik besef dat die 'kortgolvige' albedo niet alleen van het aardoppervlak afhangt, maar dat zeg ik dus bij deze) wordt hieronder weergegeven. Hierbij is een emissiviteit ε van 0.78 verondersteld.
Ik vind het grappig dat je met zo'n simpel modelletje toch redelijk aansprekende resultaten kunt boeken, die ook goed overeenkomen met wat je zou verwachten denk ik.
Een heel verhaal, maar hopelijk vonden enkelen van jullie het interessant!
Groet,
Alwin
Bericht laatst bijgewerkt: 01-03-2008 22:37