Geregeld wordt door mensen gewezen op het 'feit' dat het klimaat gestopt zou zijn met opwarmen of zelfs in een afkoelende fase zou zijn beland, om precies te zijn sinds het jaar 2000 of 1998. Met name het jaar 1998 wordt vaak gekozen, omdat dit een warme uitschieter is in de waarnemingsreeks. Dit komt hoofdzakelijk omdat -toevalligerwijs- een zeer krachtige El Niño samenviel met het kalenderjaar. Iets vergelijkbaars deed zich in Nederland in 2006 voor, een hittegolf viel nipt binnen de datumgrenzen van de maand juli en promoveerde zo deze maand tot de warmste julimaand in driehonderd jaar. Dat de hitteperiode feitelijk niet eens de meest extreme in diezelfde driehonderd jaar was, want de periode in 1976 verslaat 2006 met ruime marge, blijkt niet uit de maandcijfers.
Hoe iemand tot de conclusie kan komen dat de opwarming sinds 1998 gestopt is, of zelfs afkoeling zijn intrede heeft gedaan, valt te begrijpen. Het komt vooral door verwarring van de begrippen trend en ruis. Hierbij een poging tot verduidelijking. Allereerst moet nagegaan worden of inderdaad sprake is van een dalende trend sinds 2000. Daarvoor is de datareeks van maandelijkse wereldwijde temperatuurafwijking van het Hadley Centre (HadCRU) gebruikt. De normaalperiode van deze reeks is 1961-1990. De afwijkingen per maand sinds begin 2000 tot en met september 2008 zijn in figuur 1 afgebeeld. Ook afgebeeld is de lineaire trendlijn in het rood.
Figuur 1: maandelijkse temperatuur-afwijkingen tussen januari 2000 en september 2008
De trend in deze periode is 0,020°C/decennium. Er is dus geen sprake van een dalende trend, maar ook nauwelijks van een stijgende. Statistisch gezien is deze trend zelfs niet significant afwijkend van 0, ofwel neutraal.
Wat zegt het feit dat de trend over 105 maanden statistisch neutraal is nu precies? Over het algemeen wordt klimaat, althans voor analyses op vrij korte tijdschalen waarin complicerende factoren zoals plaattektoniek geen noemenswaardige rol spelen, wiskundig gedefinieerd als het gemiddelde van alle weerselementen (zoals temperatuur, neerslag, wind, luchtdruk, et cetera) over een periode van 30 jaar. De periode van 8¾ jaar sinds januari 2000 is dus te kort om representatief te zijn voor de toestand van het klimaat. De laatste periode van 30 jaar (360 maanden) is oktober 1978 t/m september 2008. Deze periode is afgebeeld in figuur 2.
Figuur 2: maandelijkse temperatuurafwijkingen tussen oktober 1978 en september 2008
Het beeld is hier duidelijker. Er is sprake van een statistisch hoogst significante trend van 0,161 graden/decennium. We zien ook dat de reeks nogal wat schommelingen vertoont, soms gaat de temperatuur enige tijd flink omhoog en soms flink omlaag. Tussen het jaar 2000 en 2006 is sprake van een 'stabiele fase', daarna is een lichte daling ingezet. Maar zoals gezegd is eigenlijk de hele periode van ruwweg 1979-2008, in zijn geheel en gemiddeld genomen, de meest actuele representatie van het klimaat.
Om in te schatten hoe bijzonder bepaalde schommelingen binnen zo'n periode van 30 jaar zijn, kunnen we uitzoeken hoe groot de kans is dat er in zo'n reeks een stabiele of zelfs dalende trend voorkomt over een periode van 8¾ jaar ergens in die reeks. Om dat te doen veronderstellen we dat het klimaat in deze periode te beschrijven valt door een lineaire trend, de grootschalige verandering in het klimaat, dat ons primaire signaal is, gecombineerd met een 'signaal' van ruis dat het 'weer' genoemd kan worden. De vergelijking voor de temperatuurafwijking in een willekeurige maand wordt dus Y(t) = a(t) + b(t) waarbij a het primaire signaal is (de trend) en b het ruissignaal.
Het primaire signaal, de langjarige trend, is heel duidelijk. Maar zoals we gezien hebben zorgt de ruis, het weer dus, geregeld voor kortstondig afwijkende trends die behoorlijk imposant lijken. Zeker als ze aan het eind van de reeks voorkomen kan men geneigd zijn hier bepaalde verwachtingen aan te koppelen. Aangezien we het weer als willekeurig hebben verondersteld kunnen we deze ruis ook vervangen voor een ander 'willekeurig' ruissignaal. Maar willekeurig staat hier bewust tussen aanhalingstekens omdat de temperatuurafwijkingen tussen verschillende maanden niet geheel onafhankelijk zijn. Het signaal is dus niet helemaal willekeurig. De atmosfeer houdt zich immers niet aan kalenderjaren en perioden met relatieve warmte en koelte lopen nogal eens over van de ene maand in de andere. Hierdoor ontstaat het quasi-willekeurige karakter van het ruissignaal.
Om te kijken hoe afhankelijk precies de temperatuurafwijking van maand t is van voorgaande maanden (de zogenaamde vertraging of lag) is gekozen voor partiële autocorrelatie. Wel is eerst de trendlijn van de reeks afgetrokken, we zijn immers geïnteresseerd in de ruis. Zie figuur 3.
Figuur 3: de trend verwijderd uit de originele reeks
partiële autocorrelatie
De normale autocorrelatie correleert de waarden van x(t) met een verschoven versie van zichzelf met de verschuiving n: x(t-n). Stel nu dat Y(t) gecorreleerd is met Y(t-1) maar Y(t-1) ook met Y(t-2), dan zou je ook correlatie verwachten tussen Y(t) en Y(t-2). Feitelijk is die correlatie de wortel van de correlatie met Y(t-1). Wat dus het geval is, is dat de correlatie doorwerkt in de hogere orden van de autoregressie. Een oplossing is partiële autocorrelatie waarbij het verschil wordt genomen van de werkelijke regressie van Y(t-2) en de verwachte correlatie door het doorwerken van de correlatie van Y(t-1). De partiële autocorrelatie functie van de reeks is weergegeven in figuur 4.
Figuur 4: partiële autocorrelatie van de maandelijkse temperatuurafwijkingen
De gestippelde lijnen in de grafiek geven het 95% waarschijnlijkheidsinterval weer. We kunnen nu duidelijk zien dat de temperatuurafwijkingen tussen opeenvolgende maanden niet onafhankelijk zijn. Feitelijk wordt, op statistisch significant niveau, de temperatuurafwijking van maand Y(t) voor een deel verklaard door die van Y(t-1) en zelfs nog voor een deel door Y(t-2). Als we dus het eerst als totaal willekeurig veronderstelde ruissignaal willen simuleren om nieuwe mogelijke reeksen te maken, zullen we rekening moeten houden met dit gegeven dat de ruiswaarden onderling niet onafhankelijk zijn.
Indien de waarden wel onafhankelijk zouden zijn geweest dan had de ruis enkel gesimuleerd kunnen worden door een reeks willekeurige waarden te nemen uit een bepaald bereik van waarden die bepaald wordt door de spreiding van de echte ruis. Dit soort ruis heet witte ruis. Aangezien we weten dat de waarden niet onderling afhankelijk zijn moeten we nog een bewerking toepassen op dit signaal zodat het eenzelfde onderlinge afhankelijkheid krijgt zoals die in de oorspronkelijke reeks naar voren kwam.
Een ARMA(2,1) oplossing
Aangezien de waarden onderling afhankelijk zijn tot een lag van 2 maanden, moeten we het gesimuleerde ruissignaal in een bepaald model gieten om het een 'geheugen' te geven. Een geschikt model hiervoor is het z.g. ARMA model, wat staat voor Auto Regressive Moving Average model. Het model bestaat uit deel autoregressie (AR) en een deel lopend gemiddelde (MA). De notatie van het model is doorgaans ARMA(p,q) waarbij p en q de orden van de twee delen zijn.
We hebben gezien bij de partiële autocorrelatie dat de lag 2 maanden is, de orde van de autoregressie is dus 2. De orde van het lopend gemiddelde kan op 1 blijven. Het uiteindelijke ruissignaal is nu gedefinieerd als b(t) = w(t) + p(1)w(t-1) + p(2)w(t-2) + q(1)w(t-1). Zaak is nu om de coefficienten te berekenen door het model te fitten naar het ruissignaal. Dit is gedaan in het statistisch pakket R. De coefficienten zijn als volgt:
p(1) = 0,60577, p(2) = 0.,229661, q(1) = -0,106592
Naast de coefficienten van de fit is er ook nog de verschuiving i = -0,017122 en de geschatte standaardafwijking van de witte ruis sigma = 0,0664. Met behulp van deze waarden kunnen we een willekeurige reeks maken met waarden die onderling op eenzelfde manier afhankelijk zijn als in de oorspronkelijke reeks. De witte ruis wordt zoals gezegd gesimuleerd door willekeurig waarden te nemen, de waarden die gekozen mogen worden vallen binnen het domein van een normaalverdeling met de zojuist berekende standaardafwijking sigma.
Simulaties van mogelijke weersignalen
We keren nu terug bij het oorspronkelijke doel van deze handelingen: te onderzoeken hoe bijzonder het is dat er een trend over een periode van 8¾ jaar voorkomt in de totale reeks die neutraal of zelfs negatief is, terwijl de grootschalige trend (het klimaatsignaal) sterk positief is. Om dit aan te tonen is de vraagstelling omgedraaid: welke orden van trends kunnen toevallig naar voren komen als gevolg van de ruis die het weer heet? Aangezien het weer als willekeurig is verondersteld, konden we stellen dat het waargenomen weer zomaar een opeenvolging van waarden is. Er zijn ook hele andere opeenvolgende waarden mogelijk. Zoals eerder gezegd is het totale signaal Y(t) = a(t) + b(t), a(t) is daarbij de lineaire trend en b(t) de ruis die we simuleren met ons zojuist geconstrueerde ARMA(2,1) model. Nu kunnen we zoveel mogelijk unieke reeksen maken als we zelf willen.
Door middel van een klein programma zijn maarliefst 1.000 van dit soort dertigjarige reeksen gesimuleerd. Om te controleren of de reeksen overeenkomen wat betreft klimaatsignaal met onze oorspronkelijke data, is voor elke gesimuleerde reeks de lineaire trend bepaald. De gemiddelde gesimuleerde trend is 0,157 graden/decennium, wat niet significant afwijkt van de werkelijke trend van 0,161 graden/decennium. Om vervolgens te kijken welke trends er allemaal mogelijk zijn over perioden van 8¾ jaar (105 maanden) zijn voor elk van de gesimuleerde reeksen de trends van de 255 (360 - 105 = 255) mogelijke perioden van 8¾ jaar berekend. Dit resulteert in een totaal van 256.000 trends van 8¾ jaar. De verdeling van al deze trends kan weer uiteengezet worden in een histogram, zie figuur 5.
Figuur 5: verdeling van de gesimuleerde temperatuurtrends in graden/decennium, de rode lijn is een overeenkomstige normaalverdeling
Uit de simulaties blijkt dat een neutrale trend, gezien de karaktereigenschappen van de ruis (het weer) bovenop het primaire signaal (de klimaatverandering), helemaal niet ongewoon is. De kans dat de trend rond 0 uitkomt is circa 11%, ofwel ruim 1 op de 10 gesimuleerde trends over 8¾ jaar is neutraal of negatief. Statistisch significant is een trend met een kans van slechts 5% of zelfs 1%, dit zou respectievelijk een trend zijn van -0,06 graden/decennium en -0,19 graden/decennium.
De conclusie luidt dus dat niet valt aan te tonen dat het klimaat sinds 2000 niet meer opwarmt of zelfs aan het afkoelen is. Daarvoor is de bewuste periode te kort, het blijkt dat fluctuaties zoals een dalende trend over 8¾ jaar ruim binnen het spectrum vallen van mogelijke 'ruis' rond een langjarige opwarmingstrend. De hypothese dat de opwarming van 0,161 graden/decennium, die we de laatste 30 jaar gezien hebben, doorzet is dus niet ontkracht. De huidige neerwaartse tendens valt te verklaren door atmosferische oscillaties die geregeld voorkomen en werken op korte tijdschaal, zoals El Niño en La Niña.
Groeten, Ben
Hoe iemand tot de conclusie kan komen dat de opwarming sinds 1998 gestopt is, of zelfs afkoeling zijn intrede heeft gedaan, valt te begrijpen. Het komt vooral door verwarring van de begrippen trend en ruis. Hierbij een poging tot verduidelijking. Allereerst moet nagegaan worden of inderdaad sprake is van een dalende trend sinds 2000. Daarvoor is de datareeks van maandelijkse wereldwijde temperatuurafwijking van het Hadley Centre (HadCRU) gebruikt. De normaalperiode van deze reeks is 1961-1990. De afwijkingen per maand sinds begin 2000 tot en met september 2008 zijn in figuur 1 afgebeeld. Ook afgebeeld is de lineaire trendlijn in het rood.
Figuur 1: maandelijkse temperatuur-afwijkingen tussen januari 2000 en september 2008
De trend in deze periode is 0,020°C/decennium. Er is dus geen sprake van een dalende trend, maar ook nauwelijks van een stijgende. Statistisch gezien is deze trend zelfs niet significant afwijkend van 0, ofwel neutraal.
Wat zegt het feit dat de trend over 105 maanden statistisch neutraal is nu precies? Over het algemeen wordt klimaat, althans voor analyses op vrij korte tijdschalen waarin complicerende factoren zoals plaattektoniek geen noemenswaardige rol spelen, wiskundig gedefinieerd als het gemiddelde van alle weerselementen (zoals temperatuur, neerslag, wind, luchtdruk, et cetera) over een periode van 30 jaar. De periode van 8¾ jaar sinds januari 2000 is dus te kort om representatief te zijn voor de toestand van het klimaat. De laatste periode van 30 jaar (360 maanden) is oktober 1978 t/m september 2008. Deze periode is afgebeeld in figuur 2.
Figuur 2: maandelijkse temperatuurafwijkingen tussen oktober 1978 en september 2008
Het beeld is hier duidelijker. Er is sprake van een statistisch hoogst significante trend van 0,161 graden/decennium. We zien ook dat de reeks nogal wat schommelingen vertoont, soms gaat de temperatuur enige tijd flink omhoog en soms flink omlaag. Tussen het jaar 2000 en 2006 is sprake van een 'stabiele fase', daarna is een lichte daling ingezet. Maar zoals gezegd is eigenlijk de hele periode van ruwweg 1979-2008, in zijn geheel en gemiddeld genomen, de meest actuele representatie van het klimaat.
Om in te schatten hoe bijzonder bepaalde schommelingen binnen zo'n periode van 30 jaar zijn, kunnen we uitzoeken hoe groot de kans is dat er in zo'n reeks een stabiele of zelfs dalende trend voorkomt over een periode van 8¾ jaar ergens in die reeks. Om dat te doen veronderstellen we dat het klimaat in deze periode te beschrijven valt door een lineaire trend, de grootschalige verandering in het klimaat, dat ons primaire signaal is, gecombineerd met een 'signaal' van ruis dat het 'weer' genoemd kan worden. De vergelijking voor de temperatuurafwijking in een willekeurige maand wordt dus Y(t) = a(t) + b(t) waarbij a het primaire signaal is (de trend) en b het ruissignaal.
Het primaire signaal, de langjarige trend, is heel duidelijk. Maar zoals we gezien hebben zorgt de ruis, het weer dus, geregeld voor kortstondig afwijkende trends die behoorlijk imposant lijken. Zeker als ze aan het eind van de reeks voorkomen kan men geneigd zijn hier bepaalde verwachtingen aan te koppelen. Aangezien we het weer als willekeurig hebben verondersteld kunnen we deze ruis ook vervangen voor een ander 'willekeurig' ruissignaal. Maar willekeurig staat hier bewust tussen aanhalingstekens omdat de temperatuurafwijkingen tussen verschillende maanden niet geheel onafhankelijk zijn. Het signaal is dus niet helemaal willekeurig. De atmosfeer houdt zich immers niet aan kalenderjaren en perioden met relatieve warmte en koelte lopen nogal eens over van de ene maand in de andere. Hierdoor ontstaat het quasi-willekeurige karakter van het ruissignaal.
Om te kijken hoe afhankelijk precies de temperatuurafwijking van maand t is van voorgaande maanden (de zogenaamde vertraging of lag) is gekozen voor partiële autocorrelatie. Wel is eerst de trendlijn van de reeks afgetrokken, we zijn immers geïnteresseerd in de ruis. Zie figuur 3.
Figuur 3: de trend verwijderd uit de originele reeks
partiële autocorrelatie
De normale autocorrelatie correleert de waarden van x(t) met een verschoven versie van zichzelf met de verschuiving n: x(t-n). Stel nu dat Y(t) gecorreleerd is met Y(t-1) maar Y(t-1) ook met Y(t-2), dan zou je ook correlatie verwachten tussen Y(t) en Y(t-2). Feitelijk is die correlatie de wortel van de correlatie met Y(t-1). Wat dus het geval is, is dat de correlatie doorwerkt in de hogere orden van de autoregressie. Een oplossing is partiële autocorrelatie waarbij het verschil wordt genomen van de werkelijke regressie van Y(t-2) en de verwachte correlatie door het doorwerken van de correlatie van Y(t-1). De partiële autocorrelatie functie van de reeks is weergegeven in figuur 4.
Figuur 4: partiële autocorrelatie van de maandelijkse temperatuurafwijkingen
De gestippelde lijnen in de grafiek geven het 95% waarschijnlijkheidsinterval weer. We kunnen nu duidelijk zien dat de temperatuurafwijkingen tussen opeenvolgende maanden niet onafhankelijk zijn. Feitelijk wordt, op statistisch significant niveau, de temperatuurafwijking van maand Y(t) voor een deel verklaard door die van Y(t-1) en zelfs nog voor een deel door Y(t-2). Als we dus het eerst als totaal willekeurig veronderstelde ruissignaal willen simuleren om nieuwe mogelijke reeksen te maken, zullen we rekening moeten houden met dit gegeven dat de ruiswaarden onderling niet onafhankelijk zijn.
Indien de waarden wel onafhankelijk zouden zijn geweest dan had de ruis enkel gesimuleerd kunnen worden door een reeks willekeurige waarden te nemen uit een bepaald bereik van waarden die bepaald wordt door de spreiding van de echte ruis. Dit soort ruis heet witte ruis. Aangezien we weten dat de waarden niet onderling afhankelijk zijn moeten we nog een bewerking toepassen op dit signaal zodat het eenzelfde onderlinge afhankelijkheid krijgt zoals die in de oorspronkelijke reeks naar voren kwam.
Een ARMA(2,1) oplossing
Aangezien de waarden onderling afhankelijk zijn tot een lag van 2 maanden, moeten we het gesimuleerde ruissignaal in een bepaald model gieten om het een 'geheugen' te geven. Een geschikt model hiervoor is het z.g. ARMA model, wat staat voor Auto Regressive Moving Average model. Het model bestaat uit deel autoregressie (AR) en een deel lopend gemiddelde (MA). De notatie van het model is doorgaans ARMA(p,q) waarbij p en q de orden van de twee delen zijn.
We hebben gezien bij de partiële autocorrelatie dat de lag 2 maanden is, de orde van de autoregressie is dus 2. De orde van het lopend gemiddelde kan op 1 blijven. Het uiteindelijke ruissignaal is nu gedefinieerd als b(t) = w(t) + p(1)w(t-1) + p(2)w(t-2) + q(1)w(t-1). Zaak is nu om de coefficienten te berekenen door het model te fitten naar het ruissignaal. Dit is gedaan in het statistisch pakket R. De coefficienten zijn als volgt:
p(1) = 0,60577, p(2) = 0.,229661, q(1) = -0,106592
Naast de coefficienten van de fit is er ook nog de verschuiving i = -0,017122 en de geschatte standaardafwijking van de witte ruis sigma = 0,0664. Met behulp van deze waarden kunnen we een willekeurige reeks maken met waarden die onderling op eenzelfde manier afhankelijk zijn als in de oorspronkelijke reeks. De witte ruis wordt zoals gezegd gesimuleerd door willekeurig waarden te nemen, de waarden die gekozen mogen worden vallen binnen het domein van een normaalverdeling met de zojuist berekende standaardafwijking sigma.
Simulaties van mogelijke weersignalen
We keren nu terug bij het oorspronkelijke doel van deze handelingen: te onderzoeken hoe bijzonder het is dat er een trend over een periode van 8¾ jaar voorkomt in de totale reeks die neutraal of zelfs negatief is, terwijl de grootschalige trend (het klimaatsignaal) sterk positief is. Om dit aan te tonen is de vraagstelling omgedraaid: welke orden van trends kunnen toevallig naar voren komen als gevolg van de ruis die het weer heet? Aangezien het weer als willekeurig is verondersteld, konden we stellen dat het waargenomen weer zomaar een opeenvolging van waarden is. Er zijn ook hele andere opeenvolgende waarden mogelijk. Zoals eerder gezegd is het totale signaal Y(t) = a(t) + b(t), a(t) is daarbij de lineaire trend en b(t) de ruis die we simuleren met ons zojuist geconstrueerde ARMA(2,1) model. Nu kunnen we zoveel mogelijk unieke reeksen maken als we zelf willen.
Door middel van een klein programma zijn maarliefst 1.000 van dit soort dertigjarige reeksen gesimuleerd. Om te controleren of de reeksen overeenkomen wat betreft klimaatsignaal met onze oorspronkelijke data, is voor elke gesimuleerde reeks de lineaire trend bepaald. De gemiddelde gesimuleerde trend is 0,157 graden/decennium, wat niet significant afwijkt van de werkelijke trend van 0,161 graden/decennium. Om vervolgens te kijken welke trends er allemaal mogelijk zijn over perioden van 8¾ jaar (105 maanden) zijn voor elk van de gesimuleerde reeksen de trends van de 255 (360 - 105 = 255) mogelijke perioden van 8¾ jaar berekend. Dit resulteert in een totaal van 256.000 trends van 8¾ jaar. De verdeling van al deze trends kan weer uiteengezet worden in een histogram, zie figuur 5.
Figuur 5: verdeling van de gesimuleerde temperatuurtrends in graden/decennium, de rode lijn is een overeenkomstige normaalverdeling
Uit de simulaties blijkt dat een neutrale trend, gezien de karaktereigenschappen van de ruis (het weer) bovenop het primaire signaal (de klimaatverandering), helemaal niet ongewoon is. De kans dat de trend rond 0 uitkomt is circa 11%, ofwel ruim 1 op de 10 gesimuleerde trends over 8¾ jaar is neutraal of negatief. Statistisch significant is een trend met een kans van slechts 5% of zelfs 1%, dit zou respectievelijk een trend zijn van -0,06 graden/decennium en -0,19 graden/decennium.
De conclusie luidt dus dat niet valt aan te tonen dat het klimaat sinds 2000 niet meer opwarmt of zelfs aan het afkoelen is. Daarvoor is de bewuste periode te kort, het blijkt dat fluctuaties zoals een dalende trend over 8¾ jaar ruim binnen het spectrum vallen van mogelijke 'ruis' rond een langjarige opwarmingstrend. De hypothese dat de opwarming van 0,161 graden/decennium, die we de laatste 30 jaar gezien hebben, doorzet is dus niet ontkracht. De huidige neerwaartse tendens valt te verklaren door atmosferische oscillaties die geregeld voorkomen en werken op korte tijdschaal, zoals El Niño en La Niña.
Groeten, Ben