Hoi Alwin,
Ik zie de logica in de omkering. Thuis moet ik de analyse nog eens nalopen, 40 op 10.000 komt op zich overeen met de kans van 1/256 (want op 10.000 zou je dan 39 verwachten). Om die reden vertrouwde ik de getallen van mijn willekeurige getallenreeks. De reden waarom ik Monte-Carlo heb toegepast is feitelijk omdat ik niet gelijk erop kwam dat je dit heel simpel kon aanpakken. Ik ben de laatste tijd nogal bezig met dergelijke simulaties en verdelingen dus vandaar die benadering, die eigenlijk ontzettend overkill is in dit geval. De resultaten zouden echter vergelijkbare getallen moeten opleveren.
Wat betreft jouw omkering, we kunnen het erover eens zijn dat de kans op een viertal koude winters op rij 1/256 is en dat je op basis daarvan er 39 verwacht in een reeks van 10.000. Die kans is alleen de kans dat er érgens in een reeks van N zo'n viertal voorkomt. Inderdaad met 297 maal op rij de kans dat er tenminste éen viertal voorkomt is 69%, voor 97 keer op rij is dit slechts 32%. Hoe langer de reeks des te groter de kans dat er tenminste één voorkomt ofwel des te kleiner de kans dat er géén voorkomt. Maar ik snap nu niet waarom met een 31% kans dat er geen koud viertal voorkomt, 40 op 10.000 weinig zou zijn. Hoeveel zou je er dan verwachten? 10000/[1/0.68] ~ 6800? Ik heb nog te weinig verstand van statistiek om de kans dat iets wél voorkomt in een reeks op juiste manier te verhouden met een kans dat het niét voorkomt.
Ik ga mijn simulaties hoe dan ook nog eens nalopen. De opmerking over significantieniveau was niet juist, maar dat had ik al aangegeven in mijn reactie aan Frank elders in dit topic. Overigens heb jij veel meer verstand van statistiek dan ik, dat van mij was slechts een poging. De eer van Marcus is wat teveel.
Gr. Ben
Hoi Ben,
Volgens mij haal je twee heel subtiele maar wezenlijke zaken door elkaar.
Je hebt twee kansen:
1) De kans A voor een willekeurig aantal van N opeenvolgende jaren om N koude winters op rij te leveren. In dit geval geldt N is 4, want we hebben het over viertallen. Deze kans is, als je een koude winter definieert als behorende tot de koudste 1/p van een x aantal winters, gelijk aan A = (1/p)N = 1/pN. Als je p = 4 (75e percentiel Hellmann-criterium) en N = 4 (viertallen) neemt, wordt A gelijk aan 1/44 = 1/256. Eén op de 1/A (in dit geval 256) N-tallen (in dit geval viertallen) opeenvolgende jaren zal dus N (in dit geval 4) koude winters op rij leveren. Omdat het altijd het één of het ander is, is daarom de kans 1-A dat een willekeurig N-tal opeenvolgende jaren niet N koude winters op rij levert!
2) De kans B dat er in een willekeurig gehusselde tijdreeks van x jaren ten minste één reeks van N koude winters optreedt. Deze kans is gelijk aan 1, minus de kans dat er x-(N-1) = x+1-N (want zoveel verschillende opeenvolgende N-tallen zijn er uit die reeks van x jaren te halen) maal achtereen géén N koude winters op rij optreden. Het is wederom het één of het ander: óf een reeks van x jaren bevat wél ten minste 1 koud N-tal, óf helemaal geen een. Ofwel: B = 1 - (1-A)(x-N+1) = 1 - (1-1/pN)(x-N+1).
Wat jij met die Monte Carlo simulatie hebt gedaan is de kans B bepalen (met 10.000 gehusselde tijdreeksen van x jaren, met p = 4, N = 4 en x orde 300. Jij vond in slechts 40 van de 10.000 reeksen ten minste één koud viertal. De kans B die jij op experimentele wijze hebt bepaald zou dus maar 1/250 zijn voor een x van orde 300. Deze kans B vergelijk je echter met kans A, die heel toevallig ongeveer 1/250, nl. precies 1/256, is!
Jouw kans B had echter niet orde 1/250 moeten zijn, maar orde 1/1.455.
Want met A = 1/256 en x = 300 geldt dat B = 1-(1-1/256)297 ~ 69%. De kans dat een willekeurige tijdreeks van 300 jaren ten minste één koud viertal winters bevat is dus 69%, wat betekent dat je in 10.000 gesimuleerde reeksen van 300 jaren niet 40 maar zo'n 6900 reeksen zou verwachten met ten minste één koud viertal winters. Een hele andere orde dus! Ik hoop dat ik een beetje duidelijk ben.
Voor de gein nog even wat spelen met getallen:
Met x = 300, p = 4 en...
N = 3: B = 1 - (1-1/pN)(x-N+1) = 1 - (63/64)297 = 99.08%.
N = 4: B = 1 - (1-1/pN)(x-N+1) = 1 - (255/256)296 = 68.73%.
N = 5: B = 1 - (1-1/pN)(x-N+1) = 1 - (1023/1024)295 = 25.11%.
N = 6: B = 1 - (1-1/pN)(x-N+1) = 1 - (4095/4096)294 = 6.95%.
N = 7: B = 1 - (1-1/pN)(x-N+1) = 1 - (16383/16384)293 = 1.78%.
Als een reeks van 300 winters dus één koud zestal zou bevatten, zou dat nóg geen resultaat met 95% significantie zijn.
Groet,
Alwin
Bericht laatst bijgewerkt: 05-11-2008 22:50